Bose 气体满足 Bose-Einstein 分布 $$ \begin{equation} \langle n_s \rangle=\dfrac{1}{e^{\beta(E_s-\mu)}-1} \end{equation}$$ 其中$\beta=\dfrac{1}{k_BT}$. 因为 $\langle n_s \rangle\geqslant0$，所以 $E_s-\mu\geqslant0$。如果基态能量取为0，则化学势需要满足$\mu\leqslant0$。
二维情况下，气体的态密度为$$ \begin{equation} g(k)d k=\frac{1}{4} \frac{2\pi kd k}{(\pi/L)^2}=\frac{L^2k}{2\pi}d k=\frac{Ak}{2\pi}d k \end{equation}$$ 非相对论情况下，粒子的能动量关系为$$ \begin{equation} E=\frac{\hbar k^2}{2m} \end{equation}$$ 所以可以将态密度改写为以能量为自变量$$ \begin{equation} g(E)d E=g(k)\frac{\partial k}{\partial E}d E=\frac{mL^2}{2\pi\hbar}d E \end{equation}$$
化学势 $\mu$ 与粒子数 $N$ 之间满足关系 $$ \begin{eqnarray} (2S+1)\int_0^\infty{\langle n_s\rangle g(E)dE}&=&N\newline \label{化学势与粒子数关系}(2S+1)\frac{Am}{2\pi \hbar}\int_0^\infty{\frac{d E}{ e^{\beta(E-\mu)}-1}}&=&N \end{eqnarray}$$
把 $\beta(E-\mu)$ 记为 $x$，式$\ref{化学势与粒子数关系}$可化为： $$ \begin{equation}\label{simplified} \frac1\beta\int_{-\mu\beta}^{\infty}{\frac{d x}{e^x-1}}=\frac{2\pi\hbar N}{(2S+1)Am} \end{equation}$$
左侧的积分可以算出来 $$\begin{equation} \frac{1}{\beta}\int_{-\mu\beta}^{\infty}{\frac{dx}{e^x-1}}=\ln\frac{1}{(1-e^{\mu\beta})^{\frac1\beta}} \end{equation} $$
代入式\ref{simplified}可以把 $\mu$ 表示出来$$ \begin{equation}\label{mu} \mu=\frac1\beta\ln(1-e^{-c\beta}),c=\frac{2\pi\hbar N}{(2S+1)Am} \end{equation}$$ 从式\ref{mu}可以看出，$\mu$ 始终满足 $\mu\leqslant0$，当 $\beta \to \infty$ 即 $T\to 0$ 时，$\mu$ 从0的左侧趋向于0，所以可以说临界温度 $T_c=0K$，即 Bose-Einstein 凝聚不可能发生。