卡诺热机的特别之处

经典热力学中一个很重要的模型是卡诺热机（Carnot engine），它工作在高温热源和低温热源之间，可以从高温热源吸收热量，然后输出功并在低温热源处释放热量；反过来也可以对卡诺热机输入功，达到将热量从低温热源搬运到高温热源的效果。因此卡诺机是可逆热机，并且是效率最高的热机，有如下卡诺定理¹（Carnot’s theorem）

Of all the heat engines working between two given temperatures, none is more efficient than a Carnot eigine.

但是最近重看 Concepts in Thermal Physics 时我对卡诺定理的证明过程产生了很大的困惑。教材上和维基上的证明方法是一致的，我不觉得这个证明方法有误，困惑在于，证明过程中似乎没有用到卡诺热机的特殊性质，没有哪里体现出一定要是卡诺热机，事实上用其它任意一个可逆热机放到这个证明过程中都可以证明该热机的效率是所有热机中最高的。

直到我看到课本接下来介绍了一个卡诺定理的推论，

All reversible engines working between two temperatures have the same efficiency $\eta_{Carnot}$.

既然所有的可逆热机都可以达到卡诺热机的效率，是不是说明可逆热机只能是卡诺热机？或者可以通过某种变化等效为卡诺热机？。我搜寻脑海中的回忆，确定上新课时我没有得出过这个结论，必须仔细推敲一番。

只有卡诺热机才是可逆热机吗？“除了绝热和等温过程外，还有其它可逆过程，选一些可逆过程连接成一个可逆循环就能构成一个可逆热机！”我很快发现这个想法有问题。

首先明确热机逆过程的概念：保持其它配置不变，将能量流动箭头反向，吸热变放热，对外做功变成外部对热机做功。现在对 1mol 导热良好的理想气体，考察这样一个过程：

1. 从初态 $(p_1,V_1)$ 等容加热到 $(p_2, V_1)$；
2. 从 $(p_2, V_1)$ 绝热膨胀到 $(p_3, V_2)$ ；
3. 从 $(p_3, V_2)$ 等温压缩至 $(p_1, V_1)$ 。

用这样一个过程可以构造一个热机，正过程和“逆过程”分别如下：

再画出对应的净效果：

图1左边的过程中气体经历的每一步都是__可逆变化__，但是构造出来的热机却不是__可逆热机__，原因在于，第1步中气体的等容加热需要和高温热源 $T_2$ 接触才能完成，这是一个单纯的热量流动过程，热力学第二定律的克劳修斯表述禁止了其逆过程的发生：在没有额外辅助的条件下，气体不可能与高温热源 $T_2$ 接触的同时放热等容降温。但是气体本身经历的是一个可逆变化，只要气体再去和另一个低温热源接触，就能放热等容降温回到原来的状态。退一步说，如果一定要热机逆着循环运行（图1右），那么这一步中气体必须和低温热源 $T_1$ 接触，对应到图2中就是右边 $Q_1$ 的箭头只能指向 $T_1$ 而不可能指向 $T_2$。把图2和卡诺热机的正逆运行图对比，就能知道这种热机不可逆了。

想清楚了上面这个例子后，再来看卡诺热机就不难理解为什么它是可逆的了。卡诺机和热源接触时经历的是等温过程，气体的温度和热源的温度是一样的，热力学第二定律只对有温度差时的热量流动方向做出了限制，但此处是等温的，只要把气体对外做功变成外部对气体做功，就能实现从吸热到放热的转变；而气体温度的变化是通过绝热过程完成的，绝热过程中没有熵变，也是可逆的。所以整个过程都是可逆的，卡诺机是一个可逆机。

回到开始的问题，是不是只有卡诺热机才是可逆机呢？为什么？回答：不是，但是可逆热机中的过程只能由等温过程和绝热过程组成。因为，热机逆运行受到热力学第二定律的制约，尤其是热量流动箭头能否反向。要么不存在热量流动，即绝热过程；要么热量在相同温度物体间流动，即等温过程。涉及到其它过程时，必须要修改热机的结构才能逆运行（比如例子中接触高温热源变成低温热源）。卡诺循环是最简单的满足条件的循环过程，当然也可以用更多绝热和等温过程去构造更复杂的可逆热机。

总结一下，在这个问题中有机个概念需要区分，可逆过程、__可逆机__和气体经历的__可逆变化__并不是一回事。感想就是，把想法都写下来，对理清思路有很大帮助。想通了这些问题后，再回过头看看写下的东西，似乎全是废话，给读者见笑。但是自己没开窍前还是相当困惑的，写下来防止以后再一次忘记。

如果读者有什么见解和想法，欢迎在留言区指正和一起讨论。