前几天在群里吹水的时候，我狂喷了2016年的一部冬季番《Dimension W》开头的某个画面：
因为这张图太侮辱我的智商了，把X轴反向延长就成了第四次元轴W？我无法接受这么神棍的设定。这个画面使得我对本作第一印象极差，看完第一话后又没有发现任何别的吸引我的地方，于是弃番了。
今天把线性代数作业写完以后，我又想起这件事，于是便琢磨起该怎样正确地在一张纸上画一个四维的笛卡尔坐标系。因为我从未去过四维空间，所以我的大脑是无法想象一个四维空间的，只能靠用笔计算了。方法并不难，就是在四维空间中找一个平面，然后把四个坐标轴都投影到这个平面上。
四维空间中沿着四条坐标轴的基矢量是： $$\left\{\begin{matrix}e_x=(1,0,0,0)\\e_y=(0,1,0,0)\\e_z=(0,0,1,0)\\e_w=(0,0,0,1)\end{matrix}\right.$$ 选取两个矢量 $$\left\{\begin{matrix}a=(1,1,0,1)\\b=(0,1,1,2)\end{matrix}\right.$$ 所在的平面作为投影平面 $m$。
把 $a$ 和 $b$ 排成一个 $4\times 2$ 的矩阵 $A$， $$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)$$ 后面就是按部就班的计算了： $$(A^T A)^{-1}A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ 所以现在就知道，投影到 $m$ 上以后，$e_x$ 对应 $\frac{1}{3}(2a-b)$，以此类推。
接着要把 $m$ 还有投影后的方向矢量在图上画出来。首先计算 $a$ 和 $b$ 的模长与夹角： $$||a|| = \sqrt{3},\ ||b||=\sqrt{6}$$ $$\cos\langle a, b\rangle = \frac{a\cdot b}{||a||||b||}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
那么我们就可以在平面 $m$ 上建立一个新坐标系，并且把 $a$，$b$ 分别取为 $a=(\sqrt{3},0)$, $b=(\sqrt{3},\sqrt{3})$. 然后 $$\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & \sqrt{3} \\ 0 & \sqrt{3} \end{array}\right)(A^T A)^{-1}A=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ 所以在新坐标系上，$e_x$ 的投影就是 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1)$，以此类推。
最后画出来就是：
当然，到此为止我都只考虑了纯粹的数学投影，没有考虑人体视觉。比如，通常我们在纸上画一个三维坐标系时，一般都会把某两个坐标系画成互相垂直，第三条坐标系夹在之间。然而用上面的方法可以证明，是不可能找到这样一个投影平面的。但这并不影响我们觉得画出来的坐标系很有立体感。
所以说，你们动画制作者还要学习一个，探索 W 维度，那也要按照数学和物理的基本法啊，对不对？要按照线性代数的基本原则去作画，去生成…当然人体的视觉原理也是很重要的。阿虚有句名言，叫
识得唔识得啊？